基礎数学例

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ に $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} \cdot \frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.2

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ に $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{(4 - \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.3

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{16 + 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.4

簡約します。

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$4 + \sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.5.2

$4 + \sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} {(4 + \sqrt{5})}^{1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{2}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.6

${(4 + \sqrt{5})}^{2}$ を $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ に書き換えます。

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.7

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (4 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.8.1.2

$4$ を $\sqrt{5}$ の左に移動させます。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.8.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.8.1.4

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.8.1.5

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.8.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + 5}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.8.2

$16$ と $5$ をたし算します。

$\frac{21 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.8.3

$4 \sqrt{5}$ と $4 \sqrt{5}$ をたし算します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

ステップ 1.9

$\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ に $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$

ステップ 1.10

$\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ に $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{(4 + \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}$

ステップ 1.11

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{16 - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 - {\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 1.12

簡約します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

ステップ 1.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1

$4 - \sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} (4 - \sqrt{5})}{11}$

ステップ 1.13.2

$4 - \sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} {(4 - \sqrt{5})}^{1}}{11}$

ステップ 1.13.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11}$

ステップ 1.13.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{2}}{11}$

ステップ 1.14

${(4 - \sqrt{5})}^{2}$ を $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ に書き換えます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

ステップ 1.15

分配法則（FOIL法）を使って $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.15.1

分配則を当てはめます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 (4 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

ステップ 1.15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

ステップ 1.15.3

分配則を当てはめます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

ステップ 1.16

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.16.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.16.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

ステップ 1.16.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

ステップ 1.16.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

ステップ 1.16.1.4

$- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.16.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

ステップ 1.16.1.4.2

$\sqrt{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

ステップ 1.16.1.4.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{11}$

ステップ 1.16.1.4.4

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{11}$

ステップ 1.16.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{11}$

ステップ 1.16.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2}}{11}$

ステップ 1.16.1.5

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.16.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{11}$

ステップ 1.16.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{11}$

ステップ 1.16.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

ステップ 1.16.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.16.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

ステップ 1.16.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{1}}{11}$

ステップ 1.16.1.5.5

指数を求めます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5}{11}$

ステップ 1.16.2

$16$ と $5$ をたし算します。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5}}{11}$

ステップ 1.16.3

$- 4 \sqrt{5}$ から $4 \sqrt{5}$ を引きます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5} + 21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

ステップ 2.2

$21$ と $21$ をたし算します。

$\frac{42 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5}}{11}$

ステップ 2.3

$8 \sqrt{5}$ から $8 \sqrt{5}$ を引きます。

$\frac{42 + 0}{11}$

ステップ 2.4

$42$ と $0$ をたし算します。

$\frac{42}{11}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{42}{11}$

10進法形式：

$3.\overline{81}$

帯分数形：

$3 \frac{9}{11}$

基礎数学 例

基礎数学例